Home Page
|
CoCoA System
Computations in
Commutative
Algebra
Co je CoCoA?
|
|
This pages counts
visits
by
visitors
- CoCoA je program, který počítá s čísly a polynomy.
- Je zdarma.
- Funguje pod řadou různých operačních systémů.
-
Pouzívá jej rada odborníku po celém svete, ale je vhodný i pro toho,
kdo chce zpracovat "jednoduché" kalkulace z algebry.
Co si můžete vypočítat s pomocí CoCoA?
Velmi velká čísla
Nejvetsí strojové celé císlo, které
32-bitový
počítač může vypočítat je 2^32 - 1, ale CoCoA využívá mocnou
vypočítávánou knihovnu neohraničené přesnosti GMP, a tak může
vypočítat také 2^300000: zkuste to!
2^32-1;
4294967295
2^64-1;
18446744073709551615
Racionální čísla
CoCoA je velmi přesný při práci se zlomky: Nikdy je
nekrátí na desetinná čísla! Tedy 1/3 je něco jiného než
0,3333333333333.
(1/3) * 3;
1
0.3333333333333 * 3;
9999999999999/10000000000000
Polynomy
CoCoA je odborníkem na polynomy: může je násobit,
dělit, faktorovat, ....
(x-y)^2 * (x^4-4*z^4) / (x^2+2*z^2);
x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2
Factor(x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2);
record[
RemainingFactor := 1,
factors := [x^2 -2*z^2, x -y],
multiplicities := [1, 2]]
]
Soustavy lineárních rovnic
CoCoA dokáže řešit soustavy lineárních rovnic. Stačí
kodifikovat každou rovnici typu
f = c
z polynomu
f
- c
. Také umí
řešit soustavy nelineárních rovnic, i když to je trochu těžší (budeme
o tom mluvit později).
System := ideal(x-y+z-2, 3*x-z+6, x+y-1);
ReducedGBasis(System);
[x +3/5, y -8/5, z -21/5]
Tak řešení je (z=21/5, x=-3/5, y=8/5).
Nezáporná řešení
Dokážete nalézt trojici nezáporných čísel, která
vyhovuje dané soustavě?
3x - 4y + 7z | =2 |
2x - 2y + 5z | =10 |
M := mat([[3, -4, 7, -2], [2, -2, 5, -10]]);
H := HilbertBasisKer(M);
L := [h In H | h[4] <= 1];
L;
[[0, 10, 6, 1], [6, 11, 4, 1], [12, 12, 2, 1], [18, 13, 0, 1]]
Tak máme jenom čtyři řešení:
(0, 10, 6), (6, 11, 4), (12, 12, 2), (18, 13, 0).
Kdo lže?
A říká: "B lže."
B říká: "C lže."
C říká: "A a B lžou."
Tak, kdo lže?
Pro zjištění odpovědi na tuhle otázku zakódujeme PRAVDA jako 1 a
NEPRAVDA jako 0 v ZZ/(2)
use ZZ/(2)[a,b,c];
I1 := ideal(a, b-1);
I2 := ideal(a-1, b);
A := intersect(I1, I2);
I3 := ideal(b, c-1);
I4 := ideal(b-1, c);
B := intersect(I3, I4);
I5 := ideal(a, b, c-1);
I6 := ideal(b-1, a, c);
I7 := ideal(b, a-1, c);
I8 := ideal(b-1, a-1, c);
C := IntersectList([I5, I6, I7, I8]);
ReducedGBasis(A + B + C);
[b +1, a, c]
Jedinou možností je : A a C lžou, pokud B má pravdu.
Obarvíme zeměpisnou mapu
Můžeme obarvit státy na mapě s využitím pouhých tří
barev tak, že každé dvě sousedící země mají odlišnou barvu?
use P ::= ZZ/(3)[x[1..6]];
define F(X) return X*(X-1)*(X+1); enddefine;
VerticesEq := [ F(x[i]) | i in 1..6 ];
edges := [[1,2],[1,3], [2,3],[2,4],[2,5], [3,4],[3,6],
[4,5],[4,6], [5,6]];
EdgesEq := [ (F(x[edge[1]])-F(x[edge[2]]))/(x[edge[1]]-x[edge[2]])
| edge in edges ];
I := ideal(VerticesEq) + ideal(EdgesEq) + ideal(x[1]-1, x[2]);
ReducedGBasis(I);
[x[2], x[1] -1, x[3] +1, x[4] -1, x[6], x[5] +1]
Řešení lze formalizovat takto: proměnné x[1],
x[2],... .., x[6] jsou státy, zatímco čísla -1, 0, 1 identifikují
barvy, na příklad -1 znamená "zelená", 0 "modrá", a 1 je
"červená". CoCoA najde možné zbarvení: Stát 1 = červený, stát 2 =
modrý ... Stát 5 = zelený. Dostaneme:
Heronův vzorec
Můžeme vypočítat obsah trojúhelníka podle délky jeho stran?
use QQ[x[1..2],y,a,b,c,s];
A := [x[1], 0];
B := [x[2], 0];
C := [ 0, y];
Hp := ideal(a^2 - (x[2]^2+y^2), b^2 - (x[1]^2+y^2),
c - (x[2]-x[1]), 2*s - c*y);
E := elim(x[1]..y, Hp);
f := monic(gens(E)[1]);
f;
a^4 -2*a^2*b^2 +b^4 -2*a^2*c^2 -2*b^2*c^2 +c^4 +16*s^2
factor(f - 16*s^2);
record[
RemainingFactor := 1,
factors := [a +b -c, a -b +c, a +b +c, a -b -c],
multiplicities := [1, 1, 1, 1]
]
To znamená, že
s^2 = -(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).
Čtverec obsahu trojúhelníka se stranami a,b,c
je p(p-a)(p-b)(p-c), kde p = 1/2(a+b+c) je polovina obvodu
trojúhelníka. To je Heronův vzorec!
Written by Alberto Damiano (thanks to Aleš Kocourek)
Please send comments or suggestions to cocoa(at)dima.unige.it
Last Update: 20 November 2018