Home Page
|
CoCoA System
Computations in
Commutative
Algebra
Шта је CoCoA?
|
|
This pages counts
visits
by
visitors
- CoCoA је програм за рачунање са бројевима и полиномима.
- Бесплатан је.
- Ради на многим оперативним системима.
- Користи га пуно истраживача, али може да буде од користи и за «једноставна» рачунања.
Шта све може да се израчуна помоћу програма CoCoA?
Веома велики цели бројеви
Највећи цео број који машина може да одреди на 32-битном компјутеру је
2^32-1, али CoCoA, захваљујући моћној GMP библиотеци, може чак да израчуна бројеве велике као 2^300000: пробајте сами!
2^32-1;
4294967295
2^64-1;
18446744073709551615
Рационални бројеви
CoCoA је веома прецизан са разломцима: никада их не апроксимира! Тако је 1/3 различита од 0.3333333333333
(1/3) * 3;
1
0.3333333333333 * 3;
9999999999999/10000000000000
Полиноми
CoCoA је специјализован за рачун са полиномима: може да их множи, дели, раставља на чиниоце...
(x-y)^2 * (x^4-4*z^4) / (x^2+2*z^2);
x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2
Factor(x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2);
record[
RemainingFactor := 1,
factors := [x^2 -2*z^2, x -y],
multiplicities := [1, 2]]
]
Системи линеарних једначина
CoCoA може да реши систем линеарних једначина. Једино што је потребно је да напишете сваку једначину
f = c
као полином
f -
c
. CoCoA такође може да решава системе нелинеарних јендачина, али је то мало теже као што ћемо видети касније. Сада можемо да решимо
System := ideal(x-y+z-2, 3*x-z+6, x+y-1);
ReducedGBasis(System);
[x +3/5, y -8/5, z -21/5]
Дакле, решење је: (z=21/5, x=-3/5, y=8/5).
Ненегативна цела решења
Да ли можете пронаћи уређене тројке ненегативних целих решења следећег система?
3x - 4y + 7z | =2 |
2x - 2y + 5z | =10 |
M := mat([[3, -4, 7, -2], [2, -2, 5, -10]]);
H := HilbertBasisKer(M);
L := [h In H | h[4] <= 1];
L;
[[0, 10, 6, 1], [6, 11, 4, 1], [12, 12, 2, 1], [18, 13, 0, 1]]
Овај резултат интерпретирамо тако што
кажемо да има само четири решења:
(0, 10, 6), (6, 11, 4), (12, 12, 2), (18, 13, 0).
Пример из математичке логике
А каже: «Б лаже.»
Б каже: «Ц лаже.»
Ц каже: «А и Б лажу.»
Ко заправо лаже?
За одговор на ово питање кодираћемо ТАЧНО са 1, а НЕТАЧНО са 0 у групи ZZ/(2):
use ZZ/(2)[a,b,c];
I1 := ideal(a, b-1);
I2 := ideal(a-1, b);
A := intersect(I1, I2);
I3 := ideal(b, c-1);
I4 := ideal(b-1, c);
B := intersect(I3, I4);
I5 := ideal(a, b, c-1);
I6 := ideal(b-1, a, c);
I7 := ideal(b, a-1, c);
I8 := ideal(b-1, a-1, c);
C := IntersectList([I5, I6, I7, I8]);
ReducedGBasis(A + B + C);
[b +1, a, c]
Јединствено решење је да су А и Ц лагали, а Б је говорио истину.
Бојење географске карте
Да ли је могуће на географској карти обојити државе са три различите боје, али тако да две суседне немају исту боју?
use P ::= ZZ/(3)[x[1..6]];
define F(X) return X*(X-1)*(X+1); enddefine;
VerticesEq := [ F(x[i]) | i in 1..6 ];
edges := [[1,2],[1,3], [2,3],[2,4],[2,5], [3,4],[3,6],
[4,5],[4,6], [5,6]];
EdgesEq := [ (F(x[edge[1]])-F(x[edge[2]]))/(x[edge[1]]-x[edge[2]])
| edge in edges ];
I := ideal(VerticesEq) + ideal(EdgesEq) + ideal(x[1]-1, x[2]);
ReducedGBasis(I);
[x[2], x[1] -1, x[3] +1, x[4] -1, x[6], x[5] +1]
Овај одговор интерпретирамо тако што кажемо да је могуће обојити карту у овом случају. На пример, ако 0 означава плаво, 1 црвено, а -1 зелено, добијемо [земља 1 = црвено; земља 2 = плаво; земља 3 = зелено; земља 4 = црвено; земља 6 = плаво].
Херонова формула
Да ли је могуће изразити површину троугла као функцију дужине његових страна?
use QQ[x[1..2],y,a,b,c,s];
A := [x[1], 0];
B := [x[2], 0];
C := [ 0, y];
Hp := ideal(a^2 - (x[2]^2+y^2), b^2 - (x[1]^2+y^2),
c - (x[2]-x[1]), 2*s - c*y);
E := elim(x[1]..y, Hp);
f := monic(gens(E)[1]);
f;
a^4 -2*a^2*b^2 +b^4 -2*a^2*c^2 -2*b^2*c^2 +c^4 +16*s^2
factor(f - 16*s^2);
record[
RemainingFactor := 1,
factors := [a +b -c, a -b +c, a +b +c, a -b -c],
multiplicities := [1, 1, 1, 1]
]
Дакле, формула је
s^2 = -(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).
Значи, квадрат површине троугла са страницама дужине a, b,
c je p(p-a)(p-b)(p-c), где је p = 1/2(a+b+c) полуобим. Значи, одговор је ДА.
Written by Sonja Petrović (Соња Петровић)
Please send comments or suggestions to cocoa(at)dima.unige.it
Last Update: 20 November 2018