Home Page
|
CoCoA System
Computations in
Commutative
Algebra
Čo je CoCoA?
|
|
This pages counts
visits
by
visitors
-
CoCoA je program pre výpočty s číslami a
polynómami.
-
Je voľne dostupná.
-
Je možné ju používať pod mnohými
operačnými systémami.
-
Používa ju veľa vedcov, ale je užitočná aj pre
"jednoduché" výpočty.
Aké výpočty CoCoA umožňuje?
Veľmi veľké čísla
Najväčšie celé číslo,
ktoré je možné reprezentovať na 32-bitovom počítači,
je 2^32-1. CoCoA môže vďaka výkonnej GMP knižnici
počítať s tak veľkými číslami ako 2^300000:
vyskúšaj si to!
2^32-1;
4294967295
2^64-1;
18446744073709551615
Racionálne čísla
CoCoA pracuje so zlomkami presne - nikdy
nezaokrúhľuje! Čiže 1/3 sa v žiadnom prípade nerovná 0.3333333333333 .
(1/3) * 3;
1
0.3333333333333 * 3;
9999999999999/10000000000000
Polynómy
CoCoA sa zameriava najmä na
výpočty s polynómami: násobí, delí,
faktorizuje, ...
(x-y)^2 * (x^4-4*z^4) / (x^2+2*z^2);
x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2
Factor(x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2);
record[
RemainingFactor := 1,
factors := [x^2 -2*z^2, x -y],
multiplicities := [1, 2]]
]
Lineárne systémy
CoCoA
vie riešiť sústavy lineárnych rovníc. Stačí
napísať každú rovnicu
f
= c
ako polynóm
f - c
.
CoCoA dokáže riešiť aj sústavy polynómov, je
to však trochu zložitejšie, ako neskôr uvidíme. Teraz
vyriešme
System := ideal(x-y+z-2, 3*x-z+6, x+y-1);
ReducedGBasis(System);
[x +3/5, y -8/5, z -21/5]
Čiže riešenie je (z=21/5, x=-3/5, y=8/5)
Nezáporné
celočíselné riešenia
Vieš nájsť trojice nezáporných
celých čísel vyhovujúcich tejto sústave?
3x - 4y + 7z | =2 |
2x - 2y + 5z | =10 |
M := mat([[3, -4, 7, -2], [2, -2, 5, -10]]);
H := HilbertBasisKer(M);
L := [h In H | h[4] <= 1];
L;
[[0, 10, 6, 1], [6, 11, 4, 1], [12, 12, 2, 1], [18, 13, 0, 1]]
To znamená, že sústava
má len štyri riešenia: (0, 10, 6), (6, 11, 4), (12, 12, 2),
(18, 13, 0).
Príklad z logiky
A hovorí: "B klame."
B hovorí: "C klame."
C hovorí: "A a B klamú"
Takže kto tu vlastne klame?
Ak chceme nájsť odpoveď,
zakódujeme PRAVDA ako 1 a NEPRAVDA ako 0 v ZZ/(2):
use ZZ/(2)[a,b,c];
I1 := ideal(a, b-1);
I2 := ideal(a-1, b);
A := intersect(I1, I2);
I3 := ideal(b, c-1);
I4 := ideal(b-1, c);
B := intersect(I3, I4);
I5 := ideal(a, b, c-1);
I6 := ideal(b-1, a, c);
I7 := ideal(b, a-1, c);
I8 := ideal(b-1, a-1, c);
C := IntersectList([I5, I6, I7, I8]);
ReducedGBasis(A + B + C);
[b +1, a, c]
Jediné riešenie je, že A a C
klamali, a B hovoril pravdu.
Farbenie zemepisnej mapy
Je možné zafarbiť krajiny na
mape troma farbami tak, aby žiadne dve susedné krajiny nemali
rovnakú farbu?
use P ::= ZZ/(3)[x[1..6]];
define F(X) return X*(X-1)*(X+1); enddefine;
VerticesEq := [ F(x[i]) | i in 1..6 ];
edges := [[1,2],[1,3], [2,3],[2,4],[2,5], [3,4],[3,6],
[4,5],[4,6], [5,6]];
EdgesEq := [ (F(x[edge[1]])-F(x[edge[2]]))/(x[edge[1]]-x[edge[2]])
| edge in edges ];
I := ideal(VerticesEq) + ideal(EdgesEq) + ideal(x[1]-1, x[2]);
ReducedGBasis(I);
[x[2], x[1] -1, x[3] +1, x[4] -1, x[6], x[5] +1]
To znamená, že v tomto prípade
takéto zafarbenie naozaj existuje. Napíklad ak 0
znamená modrú, 1 červenú a -1 zelenú,
dostaneme [krajina 1 = červená; krajina 2 = modrá;
krajina 3 = zelená; krajina 4 = červená; krajina 5 =
zelená; krajina 6 = modrá]
Herónov vzorec
Je možné vyjadriť obsah
trojuholníka ako funkciu dĺžok jeho strán?
use QQ[x[1..2],y,a,b,c,s];
A := [x[1], 0];
B := [x[2], 0];
C := [ 0, y];
Hp := ideal(a^2 - (x[2]^2+y^2), b^2 - (x[1]^2+y^2),
c - (x[2]-x[1]), 2*s - c*y);
E := elim(x[1]..y, Hp);
f := monic(gens(E)[1]);
f;
a^4 -2*a^2*b^2 +b^4 -2*a^2*c^2 -2*b^2*c^2 +c^4 +16*s^2
factor(f - 16*s^2);
record[
RemainingFactor := 1,
factors := [a +b -c, a -b +c, a +b +c, a -b -c],
multiplicities := [1, 1, 1, 1]
]
To znamená, že
s^2 = -(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).
Teda štvorec obsahu
trojuholníka so stranami a, b, c je p(p-a)(p-b)(p-c), kde p =
1/2(a+b+c) je polovica obvodu. Odpoveď je preto ÁNO.
Written by Janka Pílniková
Please send comments or suggestions to cocoa(at)dima.unige.it
Last Update: 20 November 2018